Introduction
La découverte de la radioactivité a débouché sur de
nombreuses applications majeures, parmi lesquelles la datation de matériaux.
Nous tenterons dans cet exposé de comprendre le phénomène de la radioactivité
alpha, en nous attachant tout particulièrement à l'explication de la durée de
vie des éléments radioactifs, qui varie dans une plage gigantesque (du
millionième de seconde à plusieurs milliards d'années). L'explication de cette durée
de vie sera l'occasion d'introduire le type d'interactions entres les
particules, ainsi que les phénomènes quantiques mis en jeu dans l'émission
alpha. Ensuite, nous nous attacherons à la description des applications de la
radioactivité, ainsi qu'aux interrogations qu'elle peut susciter.
1
Qu’est ce que la
radioactivité-alpha ?
Un atome radio-actif alpha
émet une "particule alpha", c'est à dire un noyau d'hélium (en fait
deux protons et deux neutrons).
Ainsi le noyau, en perdant
deux protons, change de nature.
L'origine de la
radio-activité alpha est une instabilité globale du noyau de l'atome qui se
stabilise en éjectant ces deux protons et deux neutrons.
Au cours d’une
désintégration a , un noyau lourd instable X expulse une particule a et donne un noyau fils plus léger, généralement
dans un état plus excité que nous notons Y*
|
A A’ 4 X à Y* + He Z Z’ 2 |
La désintégration a vérifie :
-
la conservation du
nombre de charges donc Z=Z’+2
-
la conservation du
nombre de masse d’où A=A’+4
La désexcitation du noyau
fils s’accompagne d’une émission g :
|
A-4 A-4
Y*
à Y
+ g Z-2 Z-2 |
L’équation-bilan d’une
désintégration a s’écrit donc au final
|
A A-4 4 X à Y
+ He
+ g Z Z-2 2 |
Ex : Un atome de
polonium 210 (84 protons et 126 neutrons) devient, par radio-activité alpha, un
atome de plomb 206 (82 protons et 124 neutrons).
2
Modèle de la radioactivité alpha
Il a été constaté expérimentalement qu'il existait une relation entre la durée de vie d'un élément radioactif et l'énergie des particules alpha qu'il émettait. Nous allons tenter de mettre en évidence cette relation, et de la quantifier.
2.1
Interactions
entre la particule émettrice et la particule alpha
A
l'intérieur du noyau, la
particule alpha est soumise à de très importantes forces nucléaires. La forme
exacte du potentiel à l'intérieur du noyau (région où la particule alpha est fortement attirée par ce dernier), est
inconnu. Nous allons admettre que le potentiel dû au noyau est nul au-delà du
rayon R du noyau.
En dehors du noyau,
la force dominante est la force de Coulomb. Sachant qu’après la désintégration
la particule fille porte la charge Z'e (où Z=Z'+2 est le nombre de charges de
la particule mère, puisque la particule alpha porte la charge 2e), le potentiel de Coulomb auquel est soumise
la particule alpha est, en fonction de sa distance r au centre du noyau :
pour r > R, où R
est le rayon du noyau.
Ainsi, nous pouvons représenter
le potentiel auquel est soumise la particule alpha :
On peut calculer le rayon Rc pour lequel le potentiel de
Coulomb est égal à l'énergie E de la particule alpha. Par simple substitution,
il est égal à :
Pour tracer le graphe, il a été supposé que Rc > R.
Est-ce légitime ? On peut essayer de voir ce que cela donne sur un exemple
typique, le 
. On calcule pour ce cas Rc 50 fermi, valeur effectivement inférieure à R
7.3 fermi. Nous allons admettre que
l'inégalité
Rc > R est en général vraie pour les éléments radioactifs étudiés. La figure
dessinée ici est donc à priori correcte.
Si Rc > R, alors l'énergie E de la
particule alpha est nécessairement inférieure
au potentiel
V(r) dans la zone où R < r < Rc. Pour pouvoir se libérer du noyau, la
particule alpha va donc avoir recours à l'effet
tunnel.
On se doute intuitivement que
la largeur de la région où E < V(r) aura une influence directe sur le temps
d'émission de la particule alpha. Nous allons maintenant quantifier cette
relation.
2.2
Coefficient de
transmission de la particule alpha à travers la barrière de potentiel
Appelons T la probabilité pour la particule
alpha de traverser la barrière de potentiel qui se trouve entre R et Rc. Nous
admettrons que :
Admettre
ce résultat ne nous empêche pas de faire quelques raisonnements qualitatifs
dessus. Nous remarquons que T diminue avec Rc, et que T est (indirectement)
proportionnel à la différence de potentiel
V(r)-E = 2e²Z'/r-E, ce qui est tout à fait logique.
Une série de simplifications mathématiques, que nous ne
détaillerons pas ici par manque de place, nous permettent d'obtenir en
supposant Rc >> R :
Ensuite, exploitant le fait que les variations majeures
dans cette expression sont dues à l'énergie E, on remplace les autres variables
par des valeurs typiques, et nous obtenons :
Nous disposons donc maintenant d'une
expression exploitable du coefficient de transmission de la particule alpha à
travers la barrière de potentiel.
2.3
Modélisation du
comportement de la particule alpha à l'intérieur du noyau
Nous allons prendre un modèle simpliste pour caractériser
la particule à l'intérieur du noyau. Nous considérons qu'elle rebondit
successivement sur les parois du noyau, le long d'un diamètre. Le temps 0
qui s'écoule entre deux collisions est donc :
où v est la vitesse de la particule alpha dans
le noyau, qui peut être estimée à
Le nombre de
collisions au bout duquel la particule alpha traverse la barrière est de
l’ordre de 1/T, où T est le
coefficient de transmission. On en déduit donc que le temps moyen d’émission d’une particule alpha est = 0 /
T, d’où l’on déduit en
remplaçant T par son expression :
En considérant les variations
relatives dues à 0 et celle dues à E, on s’aperçoit que l’on
peut fixer 0 à une valeur représentative sans que cela
aie une influence majeure sur le résultat. Nous obtenons donc finalement cette
relation entre et E :
Les résultats expérimentaux créditent ce
modèle : en traçant la logarithme d’une grandeur directement proportionnelle
a (la «demi-vie », i.e. le temps au
bout duquel l’émission alpha, qui connaît une décroissance exponentielle pour
une quantité macroscopique de composé radioactif, a été divisée par 2) en fonction de
,on trouve effectivement, grossièrement, une droite. Si
la simplicité de ce modèle ne nous permet pas de prévoir des valeurs précises,
il nous permet par contre de déduire une tendance générale. Il nous amène à
niveau de compréhension très satisfaisant, pour un modèle aussi naïf appliqué à
un phénomène a priori excessivement compliqué.
3
Application de la radioactivité
alpha : La datation géologique
Le phénomène de la radioactivité naturelle permet de procéder à la datation des minéraux, c’est à dire de mesurer le temps écoulé depuis la création du minéral.
Pour cela, on détermine le taux d’isotopes radioactifs ayant une demi-vie importante ainsi que la forme terminale de la chaîne de désintégration
Ex : U236 à Pb206 (stable)
On peut donc écrire que :
Nu = No exp (-lt) Nu : nombre d’atomes d’uranium restants
Npb = No (1-exp (-lt)) Npb : nombre d’atome de plomb
No est le nombre d’atomes d’uranium initialement présents.
La conservation de la matière nous donne : No= Nu + Npb
D’où exp(-lt) = (Npb+Nu)/Nu
t correspond au temps qui s’est écoulé depuis la formation du minéral.
Cette méthode ne tient pas compte du fait que du plomb sous forme stable pouvait déjà exister lors de la formation du minéral ce qui fausse alors le calcul précédent.
Une autre méthode consiste donc à comparer la proportion d’hélium présente par rapport à celle d’uranium.
En effet, au cours de chaque désintégration alpha un atome d’hélium est produit. Si on est sûr que ceux-ci restent piéger à l’intérieur du minéral, on peut alors calculer le nombre d’atomes d’uranium qui se sont désintégrés et donc l’âge.
Conclusion :
La radioactivité alpha présente des applications qui peuvent être fort intéressantes dans de nombreux domaines. Nous avons vu un exemple avec la datation géologique. Celle-ci a permis de déterminer l’âge de certaines étoiles de notre système solaire, mais des questions restent. Quel est l’âge de l’univers ? Comment les éléments chimiques se sont-ils formés ?
Nous avons déjà quelques éléments de réponse à ses grandes questions mais certains points restent encore obscurs.